오일러 등식 : 세상에서 가장 아름다운 식

요즘 딥러닝을 공부하면서, 수학 공부를 많이 하게 된다.

현재 내 수준에서 딥러닝을 이해하기 위해 필요한 수학은 고등 수학 정도인데.. 안타깝게도 나는 다 까먹었다. 

그러던 중 오일러 등식에 수많은 수학 기본 개념이 담겨있으니, 이걸 한번 파악해보면 좋을 것 같다는 조언을 얻게 되었다. 

 

따라서 이번 글에서는 오일러 등식에 대해서 이해해보려고 한다. 

 

오일러 등식이 뭔데?

아래 식이 바로 오일러 등식이다.

짧고 간단한 공식에 덧셈, 곱셈, 지수 연산이 포함되어있고, 실수와 복소수도 포함되어있다. 

이 등식은 수학의 여러 중요 부분을 담고 있고 의미적으로도 놀라워서, "세상에서 가장 아름다운 식"으로도 불려진다. 

 

$e^{i \pi }+1=0$

 

오일러 등식을 이해하기 위해서는 아래 부분에 대해 차근차근 이해가 필요하다. 

   1. 복소평면

   2. $f(x) = cos(x)+isin(x)$의 성질 

   3. $cos(x)+isin(x)$ = $e^{ix}$

1. 복소평면

복소평면 위의 하나의 점은 하나의 복소수에 대응된다.

아래와 같은 경우, 실수 측 좌표 $a$와 허수 측 좌표 $b$를 조합하여 $a+ib$라는 복소수로 나타낼 수 있다. 

복소평면에 반지름이 1인 단위 원이 있고, 원 위에 실수 측과의 각도(편각)가 $x$인 점은 $cos(x)+isin(x)$로 나타낼 수 있다. 

$f(x)=cos(x)+isin(x)$는 편각 x에 따라 달라지는 함수이다.

그러면 이제 $f(x)=cos(x)+isin(x)$의 몇 가지 성질을 알아보자. 

 

2. $f(x) = cos(x)+isin(x)$의 성질 

$f(x)=cos(x)+isin(x)$는 아래 5가지 성질을 가지고 있다. 

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a) $f(a)f(b) = f(a+b)$

b) $f(x)^{2} = f(2x)$

c) $f(x)^{-1} = f(-x)$

d) $f(0) = 1$

e) $f'(x) = if(x)$

 

 

a)~e)를 하나씩 살펴보도록 하자. 

 

 

b) $f(a)f(b) = f(a+b)$

a)는 아래의 유도로 보일 수 있다. 

---

$f(a)f(b)$

$= (cos(a) + isin(a))(cos(b) + isin(b))$
$= cos(a)(cos(b) + isin(b)) + isin(a)(cos(b) + isin(b))$
$= cos(a)cos(b) + icos(a)sin(b) + isin(a)cos(b) - sin(a)sin(b)$
$= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) + i(cos(a)sin(b) + sin(a)cos(b))$
$= cos(a+b) + i(sin(a+b))$
$= f(a+b)$

 

b) $f(x)^{2} = f(2x)$

b)는 a) $f(a)f(b) = f(a+b)$가 성립하기 때문에 자연히 성립한다. 

 

c) $f(x)^{-1} = f(-x)$

c) 는 아래 유도로 보일 수 있다. 

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$\frac{1}{f(x)}$
$=  \frac{f(-x)}{f(x)f(-x)} $
$= \frac{f(-x)}{f(0)}$  ... 분모는 a)성질에 의해 $f(x)f(-x) = f(x-x) = f(0)$
$=  \frac{f(-x)}{1+i \times  0}$
$= f(-x)$

 

d) $f(0) = 1$

d)는 함수에 0을 대입만 해도 쉽게 얻을 수 있다. 

---

$cos(0)+isin(0) = 1+i \times 0 = 1$

 

e) $f'(x) = if(x)$

e)는 아래 유도로 보일 수 있다. 

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$f'(x)$

$= (cos(x) + isix(x))'$

$= cos(x)' + (isin(x))'$

$= -sin(x) + icos(x)$

$= i(isin(x) + cos(x))$

$= if(x)$

 

이렇게 $f(x)=cos(x)+isin(x)$의 5가지 성질들을 확인했다. 

그리고 잘 생각해보면 이 성질들은 지수함수의 성질이다.

3. $cos(x)+isin(x)$ = $e^{ix}$

 

그리고 놀랍게도 $e^{ix }$도 아래 5가지 성질을 만족한다. (소름..!!)

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a) $f(a)f(b) = f(a+b)$  ⇒  $e^{ia}e^{ib} = e^{i(a+b)}$

b) $f(x)^{2} = f(2x)$   ⇒  ${e^{ix}}^{2} = e^{2ix}$

c) $f(x)^{-1} = f(-x)$   ⇒  $(e^{ix})^{-1} = e{-ix}$

d) $f(0) = 1$   ⇒  $e^{i /times 0} = 1$

e) $f'(x) = if(x)$   ⇒  $(e^{ix})' = ie^{ix}$

 

복소평면 단위 원 위의 점이 왜 지수함수의 성질을 따르는지가 신기할 따름이다.

 

성질을 따르는 것뿐 아니라 $cos(x)+isin(x)$ = $e^{ix}$를 만족한다.

(해당 방정식을 오일러 방정식이라고 한다.)

위의 e) 성질에서 확인한 바와 같이, 두 함수 간의 1차 미분식이 동일하고, 

d)에서 본 것과 같이 $f(0)$값이 1로 동일하므로 적분 상수값이 동일하다. 

 

따라서 $cos(x)+isin(x)$과 $e^{ix}$는 완전히 같은 함수의 다른 표현식이다.

핵소름!!

즉, $e^{ix}$는 $e$를 $ix$번 곱했다는 의미가 아니라, 복소평면에서 크기 1 편각 $x$인 복소수를 의미한다.

또한 x가 증가함에 값이 증가하는 것이 아니라, $2\pi$를 주기로 갖는 주기함수이다.
(단위 원 한바퀴 돌 때마다 값 똑같음.)

그리고 오일러 방정식($cos(x)+isin(x)$ = $e^{ix}$)을 바탕으로, 오일러 등식을 얻을 수 있다. 

오일러 방정식에 $x=\pi$를 대입하면 된다. 

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$cos( \pi)+isin(\pi) = e^{i \pi}$
$\Longrightarrow -1+i \times 0=e^{i \pi}$
$\Longrightarrow e^{i \pi }+1=0$

 

마치며

오일러 방정식은 그 자체로 신기하기도 하지만, 실용적으로도 유용하고 강력한 수학적 도구로 사용된다고 한다. 

(물리학에 자주 사용된다고 들었다!)

내가 해당 방정식을 수학적 도구로 이용할 일이 있을지는 모르겠으나,

오일러 등식을 이해하기 위해서 다양한 개념을 한번에 다룰 수 있어 좋았다.

고등수학을 복습하기 좋았던 시간이었던 것 같다!

 

참고 

https://www.youtube.com/watch?v=xdsGmMI8Vjs&t=301s&ab_channel=DMTPARK